Get Analysis I [Lecture notes] PDF

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By Dirk Ferus

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Seien f : R ⊃ D → R eine Funktion, p ∈ R und f¨ ur ein δ > 0 sei ]p − δ, p + δ[⊂ D ∪ {p}. Dann gilt: Der Grenzwert limx→p f (x) existiert genau dann, wenn in p der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert existieren und beide gleich sind. In diesem Fall ist lim f (x) = lim f (x) = lim f (x). x→p x p x p Beweis. Selbst Das n¨ achste Lemma bietet die M¨ oglichkeit, den Grenzwertbegriff f¨ ur Funktionen auf den f¨ ur Folgen zur¨ uckzuf¨ uhren. Lemma 112. Dann ist limx→p f (x) = a genau dann, wenn gilt: F¨ ur jede Folge (xn )n∈N in D\{p} mit limn→∞ xn = p gilt lim f (xn ) = a.

Satz 87. Jede Cauchyfolge in R ist konvergent. Beweis. Sei (xn ) eine Cauchyfolge. Zun¨achst ist (xn ) beschr¨ankt. Es gibt n¨amlich nach Voraussetzung ein N ∈ N, so dass f¨ ur alle n ≥ N xN − 1 < xn < xN + 1. Also ist die Folge (xn )n>N beschr¨ankt, und die endlich vielen Glieder x0 , . . , xN −1 ¨andern daran nichts. Als n¨ achstes w¨ ahlen wir nach Satz 83 eine monotone Teilfolge (xnk )k∈N von (xn ) aus. Diese ist nat¨ urlich wieder beschr¨ ankt, also nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom konvergent gegen ein a ∈ R.

Dann gilt: (i) Die Folge (xn + yn ) ist konvergent und lim(xn + yn ) = a + b. (ii) Die Folge (xn yn ) ist konvergent und lim(xn yn ) = ab. Insbesondere gilt das f¨ ur konstante Folgen yn = c ∈ R: lim(cxn ) = ca. (iii) Ist b = 0 und yn = 0 f¨ ur alle n, so ist die Folge (xn /yn ) konvergent und lim xn a = . yn b (iv) Ist lim xn = 0 und (zn ) eine beschr¨ ankte Folge, so gilt lim xn zn = 0. ” Beweis. Zu (i) Selbst. Zu (ii) Zun¨ achst ist (yn ) nach dem Lemma beschr¨ankt. Sei etwa |yn | < M f¨ ur alle n ∈ N.

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